суббота, 13 февраля 2016 г.

ДЕНЕЖНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЗГЛЯД МАТЕМАТИКА...


Евгений Гринев
Я приму в качестве постулата что главное требование к денежной системе стабильность.

Денежные системы, взгляд математика.


Я приму в качестве постулата что главное требование к денежной системе стабильность. Говоря о стабильности мы представляем себе что-то очень прочное и железобетонное, причем чем больше железа и бетона тем стабильнее. Но так ли это, если то что мы хотим сделать стабильным  имеет сложную структуру и находиться в агрессивной и крайне динамической среде?

Вот скажем пример такой системы автомобиль. Нет проблем сделать его корпус очень прочным и жестким. Но увы, именно эта прочность и жесткость быстро разрушит автомобиль. Дело в том, что жесткие и прочные конструкцию обладают поганым свойством – концентрации напряжений. Самый известный пример концентратора напряжений это трещина, напряжения возникающие в трощение становиться сколь угодно большими при сколь угодно малых нагрузках на конструкцию. В экономике такими концентраторами напряжений могут быть так называемые пузыри.

      По этой причине никто не делает конструкции жесткими их делают гибкими, что и позволяет распределять   нагрузку на всю конструкцию, не создавая концентраторов напряжений. Но решили ли мы тем самым проблему стабильности? Нет, не решили. Гибкие конструкции имеют свойства резонансных колебаний. В динамической среде это вызывает автоколебания – флаттер. Флаттер крыла или шасси, легко отрывает эти детали от самолета приводя к катастрофе. Разрушает мост под дуновением ветра.  Наш соотечественник Келдыш, как и занимался флаттером.

Так где же выход? А выход в несколько ином понимании стабильности (устойчивости). Устойчивость в динамической среде это не покой, не шарик на дне ямы, устойчивость в динамической среде это  определенная форма движения. Некий устойчивый цикл – аттрактор.  Вот об этом чуть подробнее.

Все небоскребы качаются, качаются  не заметно для их обитателей, но качаются в режимах заранее предусмотренных конструкторами небоскребов. Качание небоскребов следствие гибкости их конструкции, а в процессе качания конструкция совершает работу над демпферами, это таки элементы с трением, которые безопасным образом рассеивают энергию внешней динамической среды.   Т.е. конструктор небоскреба не стал бороться с автоколебаниями, а заранее заложил эти автоколебания с заданными параметрами. Сделал так чтобы именно этот режим «притягивал» к себе все динамические воздействия на систему,   и поставил демпфер рассчитанный на этот режим.

Вот такой режим динамической устойчивости «притягивающий» к себе все эволюции динамической системы и называется аттрактор.

У аттракторов есть хорошее визуальное представление в так называемом фазовом пространстве. Например,  рассмотрим грузик на пружинке (это не аттрактор, а просто пояснение что такое фазовое пространство). Грузик находясь в движении постоянно смешается то в одну, то в другую сторону. При это максимальную скорость то в одно направлении, то в другом, грузик имеет в точки расположенной в центре между максимальными смещениями. Если взять плоскость с системой координат по одной оси отложить величину смещения грузика, а по другой величину скорости, то помечая на этой плоскости мгновенный значения смещения и скорости мы получим окружность с центром в начале координат. Точка отвечающая мгновенным значениям смещения и скорости будет просто вращаться по этой окружности. Амплитуда (сила колебаний) такого простого грузика может быть любой, поэтому на фазовой плоскости существует  бесконечно много таких, не пересекающихся окружностей, каждая для определенного значения амплитуды колебания грузика.

Теперь если стало понятно, что такое фазовое пространство. То можно объяснить, что такое аттрактор. Дело в том, что если на это грузик на пружинке навесить всякие прибамбасы, то появятся  избранные окружности к которым и будут «притягиваться» другие окружности став уже не окружностями а спиралями, накручивающимися на избранную окружность. Вот эта избранная окружность и есть аттрактор.

Наличие такого аттрактора с  устройствами активного автоматического  управления (обратных связей)  удерживающими систему у этого аттрактора и есть то, что в динамических системах понимается под устойчивостью. И неважно идет ли речь о механических конструкциях или денежных системах.

 Есть сложные динамические модели для экономических процессов, есть заранее предусмотренные процессы колебания закладываемое в эти модели, одним из проявлений  таких колебаний и являются колебания учетной ставки  федеральной резервной системы США.   Общие принципы все те же. Система не должна быть слишком жесткой – не должно быть ни каких золотых, энергетических и прочих стандартов. Но не должно быть и сверх гибкости (безудержной эмиссии, или абсолютно свободного рынка). Расчетные режимы устойчивости денежной системы очень конкретны и интуитивно, на глазок не определимы.  Для их определения используются довольно сложные модели и серьезные вычислительные ресурсы. Но есть качественные вещи, про которые можно говорить с большой уверенностью, это, например то,  что периоды  низких учетных ставок и слабого доллара должны сменяться периодами высоких учетных ставок и сильного доллара.